Question

若a＜0時(shí)，f（x）=sinx-

2

ae^x在（0，+∞）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意知，在（0，+∞）上 

2

a=

sinx

ex

只有一根，由a＜0，知只需求出x＞0時(shí)g（x）=

sinx

ex

的最小值，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）的最小值．

解答： 解：由題意知，f（x）=0在（0，+∞）上只有一個(gè)根，即

2

a=

sinx

ex

只有一根，
因?yàn)閍＜0，所以只需求出x＞0時(shí)g（x）=

sinx

ex

的最小值，
g′（x）=-

exsinx-excosx

e2x

=-

2

•

sin(x- π 4 )

ex

，
令g′（x）=0可得x=kπ+

π

4

，k∈N，
易知當(dāng)x=

π

4

，

9

4

π，…時(shí)g（x）=

sinx

ex

取極大值，當(dāng)x=

5

4

π，

13

4

π，…時(shí)取極小值，
又g（

5

4

π）＜g（

13

4

π）＜…，
所以g（x）_min=g（

5

4

π）=

sin 5π 4

e 5π 4

=-

2 2

e 5π 4

，
則

2

a=-

2 2

e 5π 4

，解得a=-

1

2e 5π 4

，
故答案為：-

1

2e 5π 4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想，思維含量較高．