Question

平面四邊形ABCD中，BC=CD=1，∠ABC=∠ADC=90°，則

AB

•

AD

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意知Rt△ABC≌Rt△ACD，令：|

AB

|=|

AD

|=x，由已知條件推導(dǎo)出

AB

•

AD

=f（x）=

x2(x2-1)

x2+1

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出

AB

•

AD

的最小值．

解答： 解：由題意知Rt△ABC≌Rt△ACD，
令：|

AB

|=|

AD

|=x，x＞0，則

AB

•

AD

=x²cos∠BAD，
cos∠CAD=

x

x2+1

，∴cos∠BAD=2cos²∠CAD-1=

x2-1

x2+1

，
∴

AB

•

AD

=f（x）=x²cos∠BAD=

x2(x2-1)

x2+1

，
函數(shù)f（x）在R上有3個(gè)零點(diǎn)，-1，0，1，但考慮到x＞0，實(shí)際上只有1個(gè)零點(diǎn)x=1．
即：x=1時(shí)取得零點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)向量

AB

⊥

AD

，
f'（x）=

2x(x4+2x2-1)

(x2+1)2

，
∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜

2 -1

時(shí)，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x＞

2 -1

，f（x）是增函數(shù)，
故f（x）在x=

2 -1

時(shí)取得最小值，此時(shí)：x²=

2

-1，
f（x）_min=

( 2 -1)( 2 -2)

2

=2

2

-3．
∴

AB

•

AD

的最小值是2

2

-3．
故答案為：2

2

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，解題要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．