Question

8．函數(shù)f（x）=2ax²-2bx-a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax-2b
（1）若$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，求f（sinθ）的最大值；
（2）設(shè)a＞0時，若對任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值為2，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析 （1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價于求f（t）=2at²-2bt-a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）令sinθ=t∈[-1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函數(shù)的頂點坐標為（0，-1），進而可得ab的值，可得解析式．

解答 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價于求f（t）=2at²-2bt-a+b在t∈[0，1]的最大值，
∵a＞0，拋物線開口向上，二次函數(shù)的對稱軸$t=\frac{2a}$，
由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}f（1）=a-b（b≤a）\\ f（0）=b-a（b＞a）\end{array}\right.=|a-b|$
（2）令sinθ=t∈[-1，1]，則|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
∵a＞0，∴g（sinθ）_max=g（1）=2，而g（1）=2a-2b=2
而f（0）=b-a=-1而t∈[-1，1]時，|f（t）|≤1，即-1≤f（t）≤1，
結(jié)合f（0）=-1可知二次函數(shù)的頂點坐標為（0，-1）
∴b=0，a=1，∴f（x）=2x²-1．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角換元和等價轉(zhuǎn)化，屬中檔題．