Question

17．在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=$\frac{2π}{3}$，若點P為對角線AC上一點，則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得△ABC、△ACD都是等邊三角形，AP∈[0，1]，再利用兩個向量的加減法及其幾何意義求得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$=${（AP-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{3}{4}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值．

解答 解：由題意可得△ABC、△ACD都是等邊三角形，∠PAB=∠PAD=$\frac{π}{3}$，AP∈[0，1]，
則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AP}$）=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AP}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$+1×1cos∠BAD
=AP²-AP-$\frac{1}{2}$=${（AP-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{3}{4}$，
故當AP=0或AP=1時，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值為-$\frac{1}{2}$，
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．