Question

【題目】已知函數g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜ ，ω＞0）的圖象如圖所示，函數f（x）=g（x）+ cos2x﹣ sin2x
（1）如果 ，且g（x1）=g（x2），求g（x1+x2）的值；
（2）當﹣ ≤x≤ 時，求函數f（x）的最大值、最小值及相應的x值；
（3）已知方程f（x）﹣k=0在 上只有一解，則k的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖象得，A=1，

T= ，則 ，所以ω=2，

把點 代入得，sin（2× +φ）=0，則2× +φ=kπ，

解得 （k∈Z），由﹣π＜＜0得， ，

所以 ，

因為 ，且g（x1）=g（x2），

所以由圖得， ，

則

（2）解：由（1）得，f（x）=g（x）+ cos2x﹣ sin2x

= = ，

因為 ，所以 ，

當 時，即 時，ymax=2，

當 時，即 時，

（3）解：由（2）得，f（x）= ，

因為x∈ ，所以 ∈ ，

則 ，

即 ，

因為方程f（x）﹣k=0在 上只有一解，

則k的取值集合是（﹣ ， ]∪{﹣2}

【解析】（1）由圖象求出A、T、ω和φ，求出g（x）的解析式，由圖象和條件求出x1+x2的值，代入解析式由特殊角的正弦函數求g（x1+x2）的值；（2）由（1）和兩角和、差的正弦公式化簡f（x），由x的范圍、正弦函數的性質，求出答案；（3）由x∈ 求出 的范圍，由正弦函數的性質求出 的范圍，由條件和方程的根轉化求出k的取值集合．
【考點精析】通過靈活運用三角函數的最值，掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，即可以解答此題．