Question

如圖，A是雙曲線

x2

4

-y2=1的右頂點，過點A的兩條互相垂直的直線分別與雙曲線的右支交于點M，N，問直線MN是否一定過x軸上一定點？如果不存在這樣的定點，請說明理由；如果存在這樣的定點P試求出這個定點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線AM的斜率為k（k＞0，k≠±

1

2

，k≠±2），方程為y=k（x-2），代入

x2

4

-y2=1，求出M的坐標(biāo)，同理得N的坐標(biāo)，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)直線AM的斜率為k（k＞0，k≠±

1

2

，k≠±2），方程為y=k（x-2），
代入

x2

4

-y2=1，可得M（

8k2+2

4k2-1

，

4k

4k2-1

），
同理得N（

2k2+8

4-k2

，-

4k

4-k2

）
當(dāng)k=±1時，x_M=x_N=

10

3

，所以過（

10

3

，0）（8分）
當(dāng)k≠±1，k≠±

1

2

，k≠±2時，由直線MN的方程得，y=k′（x-

10

3

） （10分）
所以，直線MN過x軸上的定點（

10

3

，0）．                  （14分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生分析推理和基本的運算能力，屬于中檔題．