Question

已知拋物線y²=8x過點(diǎn)M（4，2）的直線l與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，當(dāng)y₁²+y₂²取得最小值時(shí)，直線l的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線l的斜率不存在時(shí)的y₁²+y₂²的值，然后寫出直線l的斜率存在時(shí)的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，通過配方變形把y₁²+y₂²用y₁+y₂，y₁y₂表示，代入根與系數(shù)關(guān)系后化為關(guān)于

1

k

的一元二次方程，由此求得最小值及取得最小值時(shí)的k值，則直線方程可求．

解答： 解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=4，
代入y²=8x，得y²=32，
∴y₁²+y₂²=2y²=64；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-4）（k≠0），
即x=

y

k

-

2

k

+4，
代入y²=8x得：y2=8(

y

k

-

2

k

+4)，
整理得：y2-

8

k

y+

16

k

-32=0．
y1+y2=

8

k

，y1y2=

16

k

-32．
∴y₁²+y₂²=(y1+y2)2-2y1y2=(

8

k

)2-2(

16

k

-32)=

64

k2

-

32

k

+64．
∴當(dāng)

1

k

=

32

2×64

=

1

4

，即k=4時(shí)，(y12+y22)min=60．
綜上，當(dāng)k=4時(shí)，y₁²+y₂²取得最小值．
∴當(dāng)y₁²+y₂²取得最小值時(shí)，直線l的方程是y-2=4（x-4）．
即4x-y-14=0．
故答案為：4x-y-14=0．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理和靈活配方變形是解答該題的關(guān)鍵，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法．是中檔題．