Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A（a，0）、F（c，0），若在直線(xiàn)x=-

a2

c

上存在點(diǎn)P使得∠APF=30°．則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（　�。�

• A、（1，

  3+ 17

  2

  ]
• B、[

  3+ 17

  2

  ，+∞）
• C、（1，4]
• D、[4，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先運(yùn)用正弦定理，求得圓的半徑r=c-a，再由直角三角形求得圓B的方程，所求圓恰好經(jīng)過(guò)A，F(xiàn)，則原題等價(jià)于直線(xiàn)x=-

a2

c

與圓B存在公共點(diǎn)，即有

a+c

2

+

a2

c

≤c-a，由離心率公式，解不等式即可得到．

解答： 解：由A（a，0）、F（c，0），
則|AF|=c-a，
由正弦定理可得，2r=

|AF|

sin30°

=2（c-a），即有r=c-a，
且圓心B在x=

a+c

2

上，
當(dāng)△AFQ為直角三角形，且∠AQF=30°，∠QAF=90°時(shí)，可得B的縱坐標(biāo)為

3

2

（c-a）．
故以B(

a+c

2

，

3 (c-a)

2

)為圓心、c-a為半徑的圓B恰好經(jīng)過(guò)A、F兩點(diǎn)，
且圓B上的點(diǎn)Q即為使得∠AQF=30°的所有點(diǎn)，
所以原題等價(jià)于直線(xiàn)x=-

a2

c

與圓B存在公共點(diǎn)，
即

a+c

2

+

a2

c

≤c-a⇒e²-3e-2≥0
⇒e≥

3+ 17

2

，或e≤

3- 17

2

（舍去）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查直線(xiàn)和圓的關(guān)系，考查正弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．