Question

下列命題中：
①函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)
②函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0）的最小值為2

a

③已知定義在R上周期為4的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），則f（x）一定為偶函數(shù)
④已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），則a+b+c=0是f（x）有極值的必要不充分條件；
⑤已知函數(shù)f（x）=x-sinx，若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞0．
其中正確命題的序號(hào)為

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；
②函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0）a≤0時(shí)無最小值；
③由定義在R上周期為4的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），可得f（x）=f（x+4）=f（-x），因此f（x）一定為偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，若函數(shù)f（x）有極值，則△＞0，可得b²＞3ac是函數(shù)f（x）取得極值的充要條件．當(dāng)a+b+c=0時(shí)，滿足△＞0，因此a+b+c=0是f（x）有極值的充分不必要條件；
⑤函數(shù)f（x）=x-sinx，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．即可判斷出f（a）+f（b）＞0．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，因此不正確；
②函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0）a≤0時(shí)無最小值，因此不正確；
③已知定義在R上周期為4的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），∴f（x）=f（x+4）=f（x+2+2）=f（2-（x+2））=f（-x），即f（-x）=f（x），因此f（x）一定為偶函數(shù)，正確；
④函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，若函數(shù)f（x）有極值，則△=4b²-12ac＞0，∴b²＞3ac．這是函數(shù)f（x）取得極值的充要條件．
當(dāng)a+b+c=0時(shí)，△=4b²+12a（a+b）=4(b+

3a

2

)2+3a2＞0，因此a+b+c=0是f（x）有極值的充分不必要條件，因此不正確；
⑤函數(shù)f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∵a+b＞0，∴a＞-b，∴f（a）＞f（-b）=-f（b），∴f（a）+f（b）＞0．
其中正確命題的序號(hào)為 ③⑤．
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡易邏輯的判斷、三角函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性周期性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．