【題目】如圖,在四棱錐中,,平面,底面為正方形,且.若四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,則球的表面積的最小值為_____;當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí),二面角的正切值為_______.

【答案】

【解析】

(1).要求球的表面積的最小值,需求出球的表面積的算式,為此又需求出球的半徑,從而根據(jù)算式的特點(diǎn),用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求出最小值.

(2).列出四棱錐的體積的算式,求出體積取得最大值時(shí)變量的取值,從而求出二面角的正切值.

(1).設(shè),則.∵平面,

,又,

平面,

則四棱錐可補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體,球的球心為的中點(diǎn),

從而球的表面積為.

(2).四棱錐的體積,

,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

,此時(shí).

,連接

為二面角的平面角.

,∴.

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