Question

若數列{a_n}（n∈N^*）滿足3a₃=7a₅＞0，三點P（n，a_n）、Q（n+1，a_n+1）、R（n+2，a_n+2）在一條直線上．
（1）若a₁=33，求通項公式a_n；
（2）若b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），數列{b_n}的項是否均為正數？如果是，則說明理由；如果不是，則數列
{b_n}中有多少項為正數？

Answer 1

考點：數列遞推式,數列與解析幾何的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用已知條件點的遞推關系式，判斷數列是等差數列，設出公差，求出公差，即可求通項公式a_n；
（2）化簡b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），判斷數列{b_n}的單調性，列出前幾項，求出數列{b_n}中的正數個數即可．

解答： 解：（1）∵

an+1-an

n-(n-2)

=

an+2-an+1

(n+2)-n

，即a_n+1-a_n=a_n+2-a_n+1，
∴數列{a_n}為等差數列，
設公差為d，
又∵3a₃=7a₅．∴3（a₁+2d）=7（a₁+4d），即4a₁+22d=0，∴d=-

2

11

a1，
又a₁=33∴d=-6，
∴a_n=33+（n-1）（-6）=-6n+39．
（2）由（1）可知，a₁=-

11

2

d，
∵a₃=-

11

2

d+2d=-

7

2

d＞0，∴d＜0，
∴數列{a_n}是首項為正數的遞減的等差數列，
由a_n=a₁+（n-1）d=-

11

2

d+（n-1）d≥0，∴n≤

13

2

，
∴a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆＞0＞a₇＞a₈＞a₉…，
∴b₁=a₁a₂a₃＞0，b₂=a₂a₃a₄＞0，b₃=a₃a₄a₅＞0，b₄=a₄a₅a₆＞0；b₅=a₅a₆a₇＜0； b₆=a₆a₇a₈＞0，b₇=a₇a₈a₉＜0，b₈=a₈a₉a₁₀＜0，…，
∴{b_n}中共有5項為正數．

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，數列的函數的特征，單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．