Question

已知向量

a

=（cosx-sinx，2sinx），

b

=（cosx+sinx，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和二倍角公式和兩角和的正弦公式，即可化簡求得；
（Ⅱ）運用正弦函數(shù)的周期公式和正弦函數(shù)的最大值及對應(yīng)的x的值，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（cosx-sinx，2sinx），

b

=（cosx+sinx，cosx），
則函數(shù)f（x）=

a

•

b

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx
=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=

2

sin(2x+

π

4

)；
（Ⅱ）由于f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，
則f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
f（x）的最大值為

2

，此時2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，解得，
x=kπ+

π

8

，k∈Z．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和二倍角公式及兩角和的正弦公式的運用，考查正弦函數(shù)的周期性和最值性，考查運算能力，屬于中檔題．