Question

14．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且△PF₁F₂是直角三角形，且S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，則a=2．

Answer 1

分析 分類討論，利用S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，得到a．

解答 解：由題意，c=$\sqrt{{a}^{2}-3}$，
①若PF₁⊥x軸時，取P（-c，$\frac{3}{a}$），S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}•2\sqrt{{a}^{2}-3}•\frac{3}{a}$=$\frac{3}{2}$，∴a=2
同理，PF₂⊥x軸時，a=2；
②∠F₁PF₂=90°，設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=2a①，t₁²+t₂²=4a²-12②，
由①²-②得t₁t₂=12，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=6，不符合題意．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是通過勾股定理解三角形，考查計(jì)算能力．