Question

8．已知f（x）=ax+$\frac{x}$，x∈（0，+∞），其中a，b都是正常數(shù)．
（1）求f（x）的最小值；
（2）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間并加以證明．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的最小值；
（2）由（1）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a-$\frac{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得ax²-b＞0，即ax²＞b，x²＞$\frac{a}$，
解得x＞$\sqrt{\frac{a}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=$\frac{\sqrt{ab}}{a}$時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值，
則f（x）的最小值為f（$\frac{\sqrt{ab}}{a}$）=a•$\frac{\sqrt{ab}}{a}$+$\frac{\frac{\sqrt{ab}}{a}}$=$\sqrt{ab}$+$\frac{ab}{\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{ab}$；
（2）由（1）知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{ab}}{a}$），
證明：設(shè)$\frac{\sqrt{ab}}{a}$≤x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=ax₁+$\frac{{x}_{1}}$-ax₂-$\frac{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂）+$\frac{b（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（a-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{a{x}_{1}{x}_{2}-b}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵$\frac{\sqrt{ab}}{a}$≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞$\frac{\sqrt{ab}}{a}$•$\frac{\sqrt{ab}}{a}$=$\frac{a}$，
則ax₁x₂＞a•$\frac{a}$=b，
即ax₁x₂-b＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{\sqrt{ab}}{a}$，+∞），
同理可證，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{ab}}{a}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和函數(shù)最值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．