Question

20．設(shè)△ABC是銳角三角形，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c，并且（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sin（$\frac{π}{3}$-B）sin（$\frac{π}{3}$+B）．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=12，a=2$\sqrt{7}$，求b，c（其中b＜c）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件化簡(jiǎn)表達(dá)式，求出A的正弦函數(shù)值，然后求角A的值；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=12，求出bc的值，利用余弦定理得到關(guān)系式，然后求b，c（其中b＜c）．

解答 解：（Ⅰ）（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sin（$\frac{π}{3}$-B）sin（$\frac{π}{3}$+B）．
可得：${sin^2}A=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）•（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB）+{sin^2}B$
=$\frac{3}{4}（{cos^2}B+{sin^2}B）=\frac{3}{4}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$．   …（6分）
（Ⅱ） $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=bccosA=12$，∴bc=24，
又a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
∴b+c=10，
∵b＜c，∴b=4，c=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的化簡(jiǎn)求值，基本知識(shí)的考查．