3.已知:△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A為銳角,且$\sqrt{3}$b=2asinB.
(Ⅰ)求:角A的大小;   
(Ⅱ)若a=7,b2+c2=89,求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)由已知和正弦定理得sinA,結(jié)合A的范圍,即可得解.
(Ⅱ)由余弦定理得bc的值,從而由三角形ABC的面積公式即可得解.

解答 (本題10分)
解:(Ⅰ)由已知和正弦定理得:$\frac{sinB}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{sinA}$,
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵A為銳角,
∴A=$\frac{π}{3}$.…(4分)
(Ⅱ)由余弦定理得:cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$,
∵a=7,b2+c2=89且A=$\frac{π}{3}$,
∴bc=40,
從而,三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$.  …(10分)

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理的綜合應(yīng)用,屬于基本知識的考查.

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