Question

1．一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f₁（x）=x+1，f₂（x）=x²，${f_3}（x）={log_2}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx+|x|，f₆（x）=x•sinx-2．
（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可；
（2）ξ可取1，2，3，4，5，ξ=k的含義為前k-1次取出的不是偶函數(shù)，第k次取出的是偶函數(shù)，分別求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答 解：（1）f₁（x）=x+1為非奇非偶函數(shù)，f₂（x）=x²為偶函數(shù)，${f_3}（x）={log_2}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$為奇函數(shù)，
f₄（x）=sinx為奇函數(shù)，f₅（x）=cosx+|x|為偶函數(shù)，f₆（x）=x•sinx-2為偶函數(shù)．
記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，
則分奇函數(shù)+奇函數(shù)，有1，
P（A）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
（2）ξ可取1，2，3，4，5，ξ=k的含義為前k-1次取出的不是偶函數(shù)，第k次取出的是偶函數(shù)
P（ξ=1）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=2）=$\frac{4×2}{6×5}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=3）=$\frac{4×3×2}{6×5×4}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=4）=$\frac{4×3×2×2}{6×5×4×3}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=5）=$\frac{4×3×2×1×2}{6×5×4×3×2}$=$\frac{1}{15}$，
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

Eξ=1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{4}{15}$+3×$\frac{1}{5}$+4×$\frac{2}{15}$+5×$\frac{1}{15}$=$\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、排列組合、古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望等知識，及利用所學(xué)知識解決問題的能力．