Question

已知函數(shù)f（x）=x²-5x+a．
（1）當a=-4時，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）對任意x∈R，若f（x）≥-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）通過因式分解，利用一元二次不等式的解法即可得出；
（2）對任意x∈R，f（x）≥-2恒成立?a≥[-x²+5x-2]_max．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）當a=-4時，不等式f（x）≥2化為x²-5x-6≥0，因式分解為（x-6）（x+1）≥0，解得x≥6或x≤-1．
∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥6或x≤-1}；
（2）對任意x∈R，f（x）≥-2恒成立?a≥[-x²+5x-2]_max．
∵g（x）=-x²+5x-2=-(x-

5

2

)2+

17

4

≤

17

4

，當且僅當x=

5

2

時取等號．
∴[-x²+5x-2]_max=

17

4

．
∴a≥

17

4

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[

17

4

，+∞)．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．