Question

設函數(shù)f（x）=|2x-7|+1．
（1）求不等式f（x）≤|x-1|的解集；
（2）若存在x使不等式f（x）≤ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）原不等式等價于|2x-7|+1≤|x-1|，分類討論，求得它的解集．
（Ⅱ） 由函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象可知，當且僅當a≥

2

7

，或a＜-2時，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象有交點，從而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等價于|2x-7|+1≤|x-1|，
當x＜1時，-（2x-7）+1≤-（x-1），解得x≥7，∴x不存在；
當1≤x≤

7

2

時，-（2x-7）+1≤x+1，解得x≥3，∴3≤x≤

7

2

；
當x＞

7

2

時，2x-7+1≤x-1，解得 x≤5，∴

7

2

＜x≤5．
綜上，不等式的解集為[3，5]．
（Ⅱ） 由函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象可知，
當且僅當a≥

2

7

，或a＜-2時，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象有交點，
故存在x使不等式f（x）≤ax成立時，a的取值范圍是（-∞-2）∪[

2

7

+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．