Question

5．給出下列四個(gè)命題：
（1）動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長，則動點(diǎn)的軌跡為橢圓；
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦點(diǎn)；
（3）點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1的軌跡方程是x²=-8y；
（4）方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，D是它短軸的一個(gè)頂點(diǎn)．若2$\overrightarrow{D{F}_{1}}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{D{F}_{2}}$，則該橢圓的離心率為$\frac{1}{3}$．
其中正確命題的序號（2），（3），（4）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義可判斷；
（2）根據(jù)圓錐曲線焦點(diǎn)的公式可判斷；
（3）利用第二定義或設(shè)點(diǎn)列方程的方法求曲線方程都可以；
（4）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出-2c=a+c．

解答 解：（1）若點(diǎn)M到F₁，F(xiàn)₂的距離之和恰好為F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)之間的距離，則軌跡不是橢圓，故錯(cuò)誤；
（2）根據(jù)定義可知，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1中c²=34，且在x軸上，故有相同的焦點(diǎn)，故正確；
（3）法1：點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1，
∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1，
設(shè)M（x，y），依題意得
∴由兩點(diǎn)間的距離公式，得
$\sqrt{（x-0）^{2}+（y+2）^{2}}$=|y-3|-1，
根據(jù)平面幾何原理，得y＜3，原方程化為=2-y
兩邊平方，得x²+（y+2）²=（2-y）²，整理得x²=-8y
即點(diǎn)M的軌跡方程是x²=-8y，故正確．
法2：也可根據(jù)第二定義可知點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，-2）的距離與它到直線l：y-2=0的距離相等，可得焦準(zhǔn)距為8，
可得x²=-8y．
（4）方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，D是它短軸的一個(gè)頂點(diǎn)．
∴D（0，b），A（a，0），F(xiàn)₁（-c，0）F₂（c，0），
2$\overrightarrow{D{F}_{1}}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{D{F}_{2}}$，
∴2（-c，-b）=（c，-b）+（a，-b），
∴-2c=a+c，
∴該橢圓的離心率為$\frac{1}{3}$，故正確．
故答案為（2），（3），（4）．

點(diǎn)評 考查了圓錐曲線的定義和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．