Question

7．若對任意x∈R，不等式sin2x-2sin²x-m＜0恒成立，則m的取值范圍是（$\sqrt{2}$-1，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為m＞sin2x-2sin²x對任意x∈R恒成立，只需由三角函數(shù)求出求t=sin2x-2sin²x的最大值即可．

解答 解：∵對任意x∈R，不等式sin2x-2sin²x-m＜0恒成立，
∴m＞sin2x-2sin²x對任意x∈R恒成立，
∴只需求t=sin2x-2sin²x的最大值，
∵t=sin2x-2sin²x=sin2x-（1-cos2x）
=sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，
∴當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1時，t取最大值$\sqrt{2}$-1，
∴m的取值范圍為（$\sqrt{2}$-1，+∞）
故答案為：（$\sqrt{2}$-1，+∞）

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及恒成立問題和三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．