Question

【題目】為解決城市的擁堵問題，某城市準(zhǔn)備對(duì)現(xiàn)有的一條穿城公路MON進(jìn)行分流，已知穿城公路MON自西向東到達(dá)城市中心后轉(zhuǎn)向方向，已知∠MON＝，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出口B，假設(shè)高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為10km．

（1）求兩站點(diǎn)A，B之間的距離；

（2）公路MO段上距離市中心30km處有一古建筑群C，為保護(hù)古建筑群，設(shè)立一個(gè)以C為圓心，5km為半徑的圓形保護(hù)區(qū)．因考慮未來道路AB的擴(kuò)建，則如何在古建筑群和市中心之間設(shè)計(jì)出入口A，才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）過O作直線OE⊥AB于E，則OE＝10，設(shè)∠EOA＝，可求∠EOB＝﹣，（），可得AE＝10tan，BE＝10tan（﹣），可求AB＝，又，結(jié)合，可得cos，可求兩出入口之間距離的最小值為20（）．

（2）設(shè)切點(diǎn)為F，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+t（k＞0），可求t＝20k，或t＝60k，可求A（﹣20，0），此時(shí)OA＝20，又由（1）可知當(dāng)時(shí)，OA＝10，綜上即可得解．

（1）過作直線OE⊥AB于E，則OE＝10，設(shè)∠EOA＝α，則∠EOB＝﹣α，（），

故AE＝10tan，BE＝10tan（﹣），

AB＝10tan+10tan（﹣）＝10（）＝，

又cos＝cos（﹣cos+sin）＝

由，可得：2﹣，

故cos，當(dāng)且僅當(dāng)2﹣，即＝時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)，AB有最小值為20（），即兩出入口之間距離的最小值為20（）．

（2）由題意可知直線AB是以為圓心，10為半徑的圓的切線，根據(jù)題意，直線AB與圓C要相離，其臨界位置為直線AB與圓C相切，

設(shè)切點(diǎn)為F，此時(shí)直線AB為圓與圓的公切線，因?yàn)�，出入口A在古建筑群和市中心之間，

如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由CF＝5，OE＝10，因?yàn)閳A的方程為x2+y2＝100，圓的方程為（x+30）2+y2＝25，

設(shè)直線AB的方程為y＝kx+t（k＞0），

則：，所以兩式相除可得：＝2，所以t＝20k，或t＝60k，

所以，此時(shí)A（﹣20，0）或A（﹣60，0）（舍去），此時(shí)OA＝20，

又由（1）可知當(dāng)時(shí)，OA＝10，綜上，OA．

即設(shè)計(jì)出入口A離市中心的距離在10km到20km之間時(shí)，才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)．