Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2emx（m∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性及最值；

（2）若a＞0，且對(duì)x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（﹣∞，﹣ln2]

【解析】

（1）．對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出；（2）原命題等價(jià)于，且對(duì)，，恒成立．由（1）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，故在，上單調(diào)遞增，可得（1）．對(duì)，，恒成立對(duì)，，恒成立．對(duì)分類討論：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出．

（1）＝a+（x∈（0，+∞））．

當(dāng)a≥0時(shí)，≥0，

∴f（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，無最值．

當(dāng)a＜0時(shí)，（x∈（0，+∞））．

可得函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．

當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，且最大值為f（）＝﹣1﹣ln（﹣a），無最大值．

（2）a＞0，且對(duì)x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，等價(jià)于a＞0，且對(duì)x∈[0，2]，f（x+1）min≥g（x）max+a﹣1恒成立．

由（1）可知：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，故y＝f（x+1）在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，

∵x∈[0，2]，∴（x+1）∈[1，3]，故f（x+1）min＝f（1）＝a．

∴對(duì)x∈[0，2]，f（x+1）min≥g（x）max+a﹣1恒成立對(duì)x∈[0，2]，g（x）max≤1恒成立．

對(duì)m分類討論：m＝0時(shí)，g（x）＝x2，x＝0，函數(shù)g（x）取得最大值，g（2）＝4，不滿足g（x）max≤1．

當(dāng)m≠0時(shí)，＝2xemx+mx2emx＝xemx（mx+2）．令＝0，解得x＝0，x＝﹣．

①當(dāng)﹣≥2，即﹣1≤m＜0時(shí)，對(duì)x∈[0，2]，≥0，因此g（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．∴g（x）max＝g（2）＝4e2m．

由4e2m≤1，解得m≤﹣ln2．∴﹣1≤m≤﹣ln2．

②當(dāng)2＞﹣＞0，即m＜﹣1時(shí)，可得函數(shù)g（x）在x∈[0，﹣）上單調(diào)遞增，在（﹣，2]上單調(diào)遞減．

∴g（x）max＝g（﹣）＝e﹣2．由e﹣2≤1，解得m≤﹣．∴m＜﹣1．

③當(dāng)﹣≤0，即m＞0時(shí)，對(duì)x∈[0，2]，≥0，因此g（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．∴g（x）max＝g（2）＝4e2m．

此時(shí)4e2m≤1，不成立，舍去．

綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣ln2]．