Question

【題目】若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003 ． a2004＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是（ ）
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008

Answer 1

【答案】B
【解析】解：
解法1：由a2003+a2004＞0，a2003a2004＜0，知a2003和a2004兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又a1＞0，則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故a2003＞a2004 ， 即a2003＞0，a2004＜0．
∴S4006= = ＞0，
∴S4007= （a1+a4007）=4007a2004＜0，
故4006為Sn＞0的最大自然數(shù)．選B．
解法2：由a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003a2004＜0，同解法1的分析得a2003＞0，a2004＜0，
∴S2003為Sn中的最大值．
∵Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示，
∴2003到對(duì)稱(chēng)軸的距離比2004到對(duì)稱(chēng)軸的距離小，
∴ 在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)．
根據(jù)已知條件及圖象的對(duì)稱(chēng)性可得4006在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4007，4008都在其右側(cè)，Sn＞0的最大自然數(shù)是4006．
對(duì)于首項(xiàng)大于零的遞減的等差數(shù)列，第2003項(xiàng)與2004項(xiàng)的和大于零，積小于零，說(shuō)明第2003項(xiàng)大于零且2004項(xiàng)小于零，且2003項(xiàng)的絕對(duì)值比2004項(xiàng)的要大，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可判斷結(jié)論．