【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b) (b∈R)
(1)當(dāng)b=4時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)b=4時,f(x)=(x2+4x+4) = (x ),
則 = .
由f′(x)=0,得x=﹣2或x=0.
當(dāng)x<﹣2時,f′(x)<0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上為減函數(shù).
當(dāng)﹣2<x<0時,f′(x)>0,f(x)在(﹣2,0)上為增函數(shù).
當(dāng)0<x< 時,f′(x)<0,f(x)在(0, )上為減函數(shù).
∴當(dāng)x=﹣2時,f(x)取極小值為0.
當(dāng)x=0時,f(x)取極大值為4
(2)解:由f(x)=(x2+bx+b) ,得:
= .
由f(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞增,
得f′(x)≥0對任意x∈(0, )恒成立.
即﹣5x2﹣3bx+2x≥0對任意x∈(0, )恒成立.
∴ 對任意x∈(0, )恒成立.
∵ .
∴ .
∴b的取值范圍是
【解析】(1)把b=4代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段,由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性,從而求得極值;(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0, )上大于等于0恒成立,得到 對任意x∈(0, )恒成立.由單調(diào)性求出 的范圍得答案.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此作了四次試驗,得到的數(shù)據(jù)如下:
零件的個數(shù)x(個) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時間y(小時) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程
(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少小時?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣ (sinx+1)
g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ )
證明:
(1)存在唯一x0∈(0, ),使f(x0)=0;
(2)存在唯一x1∈( ,π),使g(x1)=0,且對(Ⅰ)中的x0 , 有x0+x1<π.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,函數(shù)恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的值;
(2)當(dāng)時,
① 若對于任意,恒有,求的取值范圍;
② 若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)將1,2,…,2n(n∈N* , n≥2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A、B兩組,每組n個數(shù),A組最小數(shù)為a1 , 最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1 , 最大數(shù)為b2;記ξ=a2﹣a1 , η=b2﹣b1 .
(1)當(dāng)n=3時,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C);
(3)對(2)中的事件C, 表示C的對立事件,判斷P(C)和P( )的大小關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓: 的離心率,且橢圓上一點到點的距離的最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè), 為拋物線: 上一動點,過點作拋物線的切線交橢圓于兩點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓C:(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”.已知橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(0,1).
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)若過點P(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點,且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(,是直角頂點)來處理污水,管道越長,污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口是的中點,分別落在線段上.已知米,米,記.
(1)試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(2)若,求此時管道的長度;
(3)當(dāng)取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度.
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