Question

16．已知直線y=3x上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，有兩定點(diǎn)A（a，3a+2）、B（3，3），向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得P（a，3a），A（a，3a+2），B（3，3），求得向量PA，PB的坐標(biāo)，向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$夾角為鈍角，等價(jià)為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$不共線．運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得P（a，3a），A（a，3a+2），B（3，3），
$\overrightarrow{PA}$=（0，2），$\overrightarrow{PB}$=（3-a，3-3a），
向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$夾角為鈍角，
等價(jià)為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$不共線．
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，可得2（3-3a）＜0，解得a＞1，
由$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$共線，可得2（3-a）=0，解得a=3，
綜上可得，a的取值范圍是{a|a＞1且a≠3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的夾角為鈍角的等價(jià)條件，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．