Question

1．已知$\sqrt{3}$sinθcosθ-$\frac{1}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，則cos2θ=（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{-3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 由已知可得：2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，結(jié)合二倍角公式和和差角公式，可已知化為sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，求出cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，代入cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]可得答案．

解答 解：∵θ∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
又∵$\sqrt{3}$sinθcosθ-$\frac{1}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ-$\frac{1}{2}$cos2θ=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（2θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2θ-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二倍角公式和和差角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，難度中檔．