Question

11．設(shè)函數(shù)y=lnx與y=ax²-a的圖象有公共點(diǎn)．且在公共點(diǎn)處有共同的切線．則a的值為（　　）

• A． $\frac{e}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀），則lnx₀=ax₀²-a①，f′（x₀）=g′（x₀），聯(lián)立消掉a可得關(guān)于x₀的方程，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得唯一x₀值，進(jìn)而可求a的值．

解答 解：設(shè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀），則lnx₀=ax₀²-a①，
f′（x₀）=g′（x₀），即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax₀，化簡(jiǎn)得1=2ax₀²②，
聯(lián)立①②消a得，lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
令φ（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$，φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{3}}$，
由②可得a＞0，
易知φ（x）在（0，1]遞減，[1，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（1）=0，
所以φ（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=0有唯一解1，即x₀=1，
則y₀=ln1=0，a=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．