Question

5．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，高為$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，求此棱錐的側(cè)面積和表面積．

Answer 1

分析 先求解正三棱錐的底面三角形的高然后利用直角三角形計(jì)算出正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，結(jié)合側(cè)面等腰三角形中腰長(zhǎng)即側(cè)棱長(zhǎng)、底為a，即可求解側(cè)面三角形的面積，進(jìn)而問(wèn)題獲得解答．

解答 解：由題意可知：如圖
在正三角形ABC中：OB=$\frac{2}{3}$•a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
所以在直角三角形POB中：PB=$\sqrt{{PO}^{2}+{BO}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$
∴側(cè)面等腰三角形底邊上的高為：$\sqrt{（{\frac{\sqrt{6}}{3}a）}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{6}a$，
∴三棱柱的側(cè)面積為：S_側(cè)=3×$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{15}}{6}a$=$\frac{\sqrt{15}}{12}{a}^{2}$．
全面積為：$\frac{\sqrt{15}}{12}{a}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}{a}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正三棱錐的側(cè)面積求解問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想、勾股定理的知識(shí)以及面積公式的應(yīng)用．值得同學(xué)們體會(huì)反思．