Question

（本小題滿分14分）給定正奇數(shù)，數(shù)列：是1，2，…，的一個排列，定義E（，…，）為數(shù)列：，，…，的位差和.

（1）當時，求數(shù)列：1，3，4，2，5的位差和；

（2）若位差和E（，，…，）=4，求滿足條件的數(shù)列：，，…，的個數(shù)；

（3）若位差和，求滿足條件的數(shù)列：的個數(shù).

Answer 1

（1）4;（2）;（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)定義直接計算即可；（2）當位差和為4時，分兩情況：當，，，，且，可算得共有種情況，分別等于，，或，，或，，其他項（其中）時，有種可能，兩種情況相加即可；（3）將去絕對值符號后，所得結(jié)果為

112233…的形式，其中恰好有個數(shù)前面為減號，這表明

，

此不等式成立是因為前面為減號的個數(shù)最小為：2個1，2個2，…，2個和1個.

上面的討論表明，題中所求的數(shù)列是使得E（）最大的數(shù)列，這樣的數(shù)列在時，要求從1，2，…，中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的個數(shù)的排列作為…，的對應值，較小的個數(shù)的排列作為，，…，的對應值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為.滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為

試題解析：（1）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）

（2）若數(shù)列：，，…，的位差和E（，，…，）=4，有如下兩種情況：

情況一：當，，，，且，其他項（其中）時，有種可能；（5分）

情況二：當分別等于，，或，，或，，其他項（其中）時，有種可能；（7分）

綜上，滿足條件的數(shù)列：的個數(shù)為

.（8分）

例如：時，

情況一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3種：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；

情況二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3種：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；

形如2，3，1，4，5，共有5-2=3種：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；

形如3，1，2，4，5，共有5-2=3種：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4.

（3）將去絕對值符號后，所得結(jié)果為

112233…

的形式，其中恰好有個數(shù)前面為減號，這表明

，（10分）

此不等式成立是因為前面為減號的個數(shù)最小為：2個1，2個2，…，2個和1個.（11分）

上面的討論表明，題中所求的數(shù)列是使得E（）最大的數(shù)列，這樣的數(shù)列在時，要求從1，2，…，中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的個數(shù)的排列作為…，的對應值，較小的個數(shù)的排列作為，，…，的對應值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為.

綜上，滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為（14分）

例如：時，

E（）.

此不等式成立是因為前面為減號的5個數(shù)最小為：2個1，2個2和1個3.

若E（）=12，，此時時，要求從1，2，3，4，5中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的2個數(shù)的排列作為，的對應值，較小的2個數(shù)的排列作為的對應值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為.

4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；

4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；

4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；

3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；

3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1.

題目背景：假設(shè)現(xiàn)在有種物品，已經(jīng)按照某種標準排列，并依次確定編號為1，2，…，，鑒別師事先不知道物品的標準排列編號，而是根據(jù)自己的判斷，對這種物品進行排列依次編號為，其中是1，2，…，的一個排列，那么可以用數(shù)列：的位差和

E（）=，

來評判鑒別師的能力.

當E（）越小，說明鑒別師能力越強；反之越大，說明鑒別師能力越弱；

當E（）=0，說明鑒別師給出的排列編號與標準排列編號一致，判斷完全正確；

第二問，位差和E（）=4時，給出數(shù)列：的情況；

第三問，說明位差和E（）最大值為，且給出取得最大值時，數(shù)列：的情況.

考點：新定義問題、數(shù)列求和、基本不等式、排列與組合.