Question

10．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{x+2}$；
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，再判斷奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）試探究函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對數(shù)式的真數(shù)大于0求解分式不等式得函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明真數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，然后結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性．

解答 （Ⅰ）由$\frac{x-2}{x+2}＞0$，得x＜-2或x＞2，
∴函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{x+2}$的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞）；
而f（-x）+f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{-x-2}{-x+2}+lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{x-2}{x+2}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{-x-2}{2-x}•\frac{x-2}{x+2}）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{4-{x}^{2}}{4-{x}^{2}}=lo{g}_{\frac{1}{2}}1=0$，
∴f（-x）=-f（x）．
∴函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{x+2}$為定義域上的奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)．
事實上，
令t=$\frac{x-2}{x+2}$（x＞2），
設(shè)x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
則$t（{x}_{1}）-t（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{1}+2}-\frac{{x}_{2}-2}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}+2）-（{x}_{2}-2）（{x}_{1}+2）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$
=$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$．
∵x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₁-x₂＜0，
則$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$＜0．
即t（x₁）＜t（x₂），則t=$\frac{x-2}{x+2}$（x＞2）為增函數(shù)，
又y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$為減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性得：
函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)．

點評 本題考查與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查了函數(shù)奇偶性的判定方法，關(guān)鍵是考查學生對對基礎(chǔ)知識的掌握情況，是基礎(chǔ)題．