Question

7．P是拋物線上x²=4y上的動點，Q（0，m）是定點，以PQ為直徑的圓始終與直線y=0相切，則實數(shù)m的值為1．

Answer 1

分析 由題意可設P（t，$\frac{1}{4}$t²），求出以PQ為直徑的圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結合恒成立思想，即可得到m的值．

解答 解：由題意可設P（t，$\frac{1}{4}$t²），
以PQ為直徑的圓的圓心為（$\frac{1}{2}$t，$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$m），
半徑r=$\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+（\frac{1}{8}{t}^{2}-\frac{1}{2}m）^{2}}$，
由直線和圓相切，可得
$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$m=$\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+（\frac{1}{8}{t}^{2}-\frac{1}{2}m）^{2}}$，
化簡可得$\frac{1}{4}$mt²=$\frac{1}{4}$t²，
由t為任意實數(shù)，則m=1．
故答案為：1．

點評 本題考查拋物線的方程的運用，同時考查直線和圓相切的條件：d=r，考查恒成立思想，屬于中檔題．