Question

在直角坐標系xoy中，設A是曲線C₁：y=ax³+1（a＞0）與曲線的一個公共點，若C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，則實數(shù)a的值是

1. A.
   2
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：設出兩曲線的交點A的坐標，代入兩曲線解析式，分別記作①和②，由曲線C₁的解析式，求出導函數(shù)，把點A的橫坐標代入導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為曲線C₁在A處的切線的斜率，進而表示出C₁在A處的切線方程，由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，得到求出的切線方程過曲線C₂的圓心（0，0），把圓心坐標代入切線方程得到一個關(guān)系式，記作③，聯(lián)立①②③，即可求出a的值．
解答：設點A的坐標為（x₀，y₀），代入兩曲線方程得：
y₀=ax₀³+1①，x₀²+y₀²=②，
由曲線C₁：y=ax³+1得：y′=3ax²，
則曲線C₁在A處的切線的斜率k=3ax₀²，
所以C₁在A處的切線方程為：y=3ax₀²（x-x₀）+y₀，
由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，
得到切線方程y=3ax₀²（x-x₀）+y₀過圓C₂的圓心（0，0），
則有3ax₀²（0-x₀）+y₀=0，即y₀=3ax₀³③，
把③代入①得：a=④，④代入③得：y₀=⑤，⑤代入②得：x₀=±，
當x₀=時，代入④得：a=4；當x₀=-時，代入④得：a=-4（由a＞0，不合題意，舍去）．
則實數(shù)a的值為4．
故選D
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，掌握圓切線垂直于過切點的直徑的性質(zhì)，是一道中檔題．