已知
a
和
b
是兩個不共線的單位向量，向量
c
=λ
a
+（1-λ）
b
，且|
c
|=
1
2
，則|
a
-
b
|的最小值是（　　）
A、1
B、
2
C、
3
D、2
考點：平面向量數(shù)量積的運算,向量的模
專題：計算題
分析：根據(jù)向量及模的運算法則得出
c
2=[λ
a
+（1-λ）
b
]2=λ2+2λ（1-λ）
a
•
b
+（1-λ）2=
1
4
，建立|
a
-
b
|與λ的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式法求最小值．
解答： 解：∵|
c
|=
1
2
，∴|
c
|2=
1
4
，而
c
=λ
a
+（1-λ）
b
，
∴
c
2=[λ
a
+（1-λ）
b
]2=λ2+2λ（1-λ）
a
•
b
+（1-λ）2=
1
4
，
又|
a
-
b
|2=2-2
a
•
b
=2+2
λ2+2λ(1-λ)+(1-λ)2-
1
4
λ(1-λ)
=
3
4
λ(1-λ)
，
且λ（1-λ）≤[
λ+(1-λ)
2
]2=
1
4
，∴
3
4
λ(1-λ)
≥3，從而|
a
-
b
|的最小值是
3
，
當且僅當λ=1-λ，λ=
1
2
時取得最小值．
故選C．
點評：本題考查了向量模的運算法則，函數(shù)思想，基本不等式法求最值．建立函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列關(guān)于向量的等式中，正確的是（　�。�
A、
AB
+
BC
+
CA
=
0
B、
AB
=
BC
-
AC
C、
AB
=
CA
-
BC
D、
AB
=
BC
+
CA

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
與向量
b
的夾角為60°，且|
a
|=1，|
b
|=2，若
c
=
a
+λ
b
，
c
⊥（2
a
-
b
），則實數(shù)λ的值為（　�。�
A、λ=
1
4
B、λ=
1
3
C、λ=
1
2
D、λ=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：?x∈R，x2-x+
1
4
≤0，命題q：?x∈R，sinx+cosx=
2
，則下列判斷正確的是（　�。�
A、p是真命題
B、q是假命題
C、￢p是假命題
D、￢q是假命題

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某變量x與y的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：
x174176176176178
y175175176177177
則y對x的線性回歸方程為（　　）
A、
∧
y
=
∧
x
-1
B、
∧
y
=
∧
x
+1
C、
∧
y
=
1
2
∧
x
+88
D、
∧
y
=
∧
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的面積為S，且
AB
•
BC
=1，若
1
2
＜S＜
3
2
，則∠ABC的范圍是（　�。�
A、（
π
6
，
π
3
）
B、（
π
4
，
π
3
）
C、（
2π
3
，
5π
6
）
D、（
2π
3
，
3π
4
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F是拋物線y2=4x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（　�。�
A、
3
2
B、1
C、
1
2
D、
5
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=log2（x-2），若實數(shù)m，n滿足f（m）+f（2n）=3，則m+n的最小值是（　�。�
A、7B、5C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且對于任意的x，y∈（0，+∞），恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（Ⅰ）求f（1）；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）當f（2）=1時，
①解不等式f（x）+f（x-3）≤2；
②求函數(shù)f（x）在[
2
，4]上的值域．

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