Question

【題目】定義，，…，的“倒平均數(shù)”為.

（1）若數(shù)列前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為，求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.若為前項(xiàng)的倒平均數(shù)，求；

（3）設(shè)函數(shù)，對(duì)（1）中的數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)定義求得數(shù)列的前項(xiàng)和.再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求出的通項(xiàng)公式.

（2）先根據(jù)為偶數(shù)和為奇數(shù)時(shí)，分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再根據(jù)定義求出，最后求出.

（3）先化簡(jiǎn)不等式得對(duì)任意恒成立，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求最小值，最后根據(jù)不等式解集推導(dǎo)出存在最大的實(shí)數(shù)

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，

由題意，，

所以.

所以，當(dāng)時(shí)，，

而也滿足此式.

所以的通項(xiàng)公式為.

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

所以，

所以.

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，

則對(duì)任意恒成立，

令，因?yàn)?/span>，

所以數(shù)列是遞增數(shù)列，

所以只要，即，

解得或.

所以存在最大的實(shí)數(shù)，

使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.