Question

【題目】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，已知，．

（1）求，的方程；

（2）過作的不垂直于軸的弦，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于，兩點(diǎn)時，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

(1)由可推出,從而,,因此,推出,,從而得到的方程;

(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出,從而得到直線的方程為,再聯(lián)立,由韋達(dá)定理和弦長公式求出,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線的距離以及到直線的距離,進(jìn)而得到四邊形的面積的最小值.

(1)∵,∴,

∴,即,

∴,,

∴,

∴,,

∴的方程為,的方程為.

(2)依題意,直線的方程可設(shè)為,設(shè),,

由消去可得,

∴,,

∴,

∴中點(diǎn)坐標(biāo)為,

∴直線的方程為,

由消去,可得,

∴且,,

∴,

設(shè)到直線的距離為,則到直線的距離也為,

∴,

∵,

∴,

又∵,

∴,

∴四邊形的面積,

∴當(dāng)時,取得最小值,且,即四邊形面積的最小值為.