Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，.

（1）求的范圍；

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）的范圍為，（2）證明見詳解

【解析】

（1）求出，設(shè)，通過的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，最后分兩種情況討論即可

（2）構(gòu)造函數(shù)，先證明在上恒成立，即得，然后利用在上單調(diào)遞增即可證明.

（1）由得

設(shè)，則

令得

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增

所以

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，

不妨設(shè)，則有

綜上：當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)，時(shí)，的范圍為

（2）證明：由（1）可得，是的兩個(gè)零點(diǎn)

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

可設(shè)

構(gòu)造函數(shù)

則有

所以在上單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>，所以在上恒成立

所以，即

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以

所以