Question

12．（1）找出一個(gè)等比數(shù)列{a_n}，使得1，$\sqrt{2}$，4為其中的三項(xiàng)，并指出分別是{a_n}的第幾項(xiàng)；
（2）證明：$\sqrt{2}$為無理數(shù)；
（3）證明：1，$\sqrt{2}$，4不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意取一個(gè)等比數(shù)列{a_n}：首項(xiàng)為1、公比為$\sqrt{2}$，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，再求出a_n=4時(shí)的項(xiàng)數(shù)n即可判斷；
（2）假設(shè)$\sqrt{2}$是有理數(shù)，利用有理數(shù)的定義得：存在互質(zhì)整數(shù)h、k，使得$\sqrt{2}=\frac{h}{k}$，再進(jìn)行證明直到推出矛盾；
（3）假設(shè)1，$\sqrt{2}$，4是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和（2）的結(jié)論進(jìn)行證明，直到推出矛盾．

解答 解：（1）取一個(gè)等比數(shù)列{a_n}：首項(xiàng)為1、公比為$\sqrt{2}$，
則${a}_{n}=（\sqrt{2}）^{n-1}$，…2分
則令${a}_{n}={（\sqrt{2}）}^{n-1}$=4，解得n=5，
所以a₁=1，${a}_{2}=\sqrt{2}$，a₅=4． …4分
（2）證明：假設(shè)$\sqrt{2}$是有理數(shù)，則存在互質(zhì)整數(shù)h、k，使得$\sqrt{2}=\frac{h}{k}$，…5分
則h²=2k²，所以h為偶數(shù)，…7分
設(shè)h=2t，t為整數(shù)，則k²=2t²，所以k也為偶數(shù)，
則h、k有公約數(shù)2，這與h、k互質(zhì)相矛盾，…9分
所以假設(shè)不成立，所以$\sqrt{2}$是有理數(shù)． …10分
（3）證明：假設(shè)1，$\sqrt{2}$，4是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，
且分別為第n、m、p項(xiàng)且n、m、p互不相等，…11分
設(shè)公差為d，顯然d≠0，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}=1+（m-n）d}\\{4=1+（p-n）d}\end{array}\right.$，
消去d得，$\sqrt{2}=1+\frac{3（m-n）}{p-n}$，…13分
由n、m、p都為整數(shù)，所以$1+\frac{3（m-n）}{p-n}$為有理數(shù)，
由（2）得$\sqrt{2}$是無理數(shù)，所以等式不可能成立，…15分
所以假設(shè)不成立，即1，$\sqrt{2}$，4不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)． …16分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，有理數(shù)的定義是應(yīng)用，以及利用反證法證明結(jié)論成立，屬于中檔題．