【題目】設(shè)a≥0，f（x）=x﹣1﹣ln2x+2alnx（x＞0）．
（1）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

【答案】
（1）

解：根據(jù)求導(dǎo)法則有 ，

故F（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x＞0，

于是 ，

∴知F（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，

所以，在x=2處取得極小值F（2）=2﹣2ln2+2a．


（2）

證明：由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2﹣2ln2+2a＞0．

于是知，對(duì)一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．

從而當(dāng)x＞0時(shí)，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加．

所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0．

故當(dāng)x＞1時(shí)，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．


【解析】（1）先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可．（2）欲證x＞ln2x﹣2a ln x+1，即證x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某體育場(chǎng)要建造一個(gè)長(zhǎng)方形游泳池，其容積為4800m3 ， 深為3m，如果建造池壁的單價(jià)為a且建造池底的單價(jià)是建造池壁的1.5倍，怎樣設(shè)計(jì)水池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最底？最低造價(jià)是多少？

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（1）求橢圓的方程；

（2）求的面積取最大值時(shí)直線的方程.

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【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，且AB＝2，AD＝4，

AP＝4，F是線段BC的中點(diǎn).

⑴ 求證：面PAF面PDF；

⑵ 若E是線段AB的中點(diǎn)，在線段AP上是否存在一點(diǎn)G，使得EG面PDF？若存在，求出線段AG的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由.

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【題目】已知a＞1，f（x）=x2﹣ax ， 當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，均有f（x）＜ ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（1，2）
B.（1，3]
C.（1， ）
D.（1，2]

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【題目】定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：①f（0）=0；②f（x）+f（1﹣x）=1；③f（ ）= f（x）；④當(dāng)0≤x1＜x2≤1時(shí)，f（x1）≤f（x2）．則f（ ）= ．

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【題目】袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2．
（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；
（2）現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率．

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【題目】對(duì)于兩個(gè)圖形F1 ， F2 ， 我們將圖象F1上任意一點(diǎn)與圖形F2上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫作圖形F1與F2圖形的距離，若兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，則這兩個(gè)函數(shù)互為“可及函數(shù)”，給出下列幾對(duì)函數(shù)，其中互為“可及函數(shù)”的是 ． （寫出所有正確命題的編號(hào)） ①f（x）=cosx，g（x）=2；
②f（x）=ex ． g（x）=x；
③f（x）=log2（x2﹣2x+5），g（x）=sin ﹣x；
④f（x）=x+ ，g（x）=lnx+2．

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【題目】已知函數(shù) (其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

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