Question

已知等腰Rt△ABC斜邊的兩個端點(diǎn)A（-5，1）、B（3，-5）．
（1）求△ABC斜邊上的高CD的長；
（2）寫出CD所在直線的方程；
（3）求△ABC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得|AB|=10，繼而可求得等腰Rt△ABC斜邊上的高CD的長；
（2）利用點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2），利用AB⊥CD，再求得k_CD=

4

3

，由直線的點(diǎn)斜式即可求得CD所在直線的方程；
（3）設(shè)C（a，b），則k_CA•k_CB=

b-1

a+5

•

b+5

a-3

=-1，又4a-3b-2=0，聯(lián)立二式即可求得△ABC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵△ABC為等腰Rt三角形，斜邊|AB|=

(-5-1)2+[3-(-5)]2

=10，
∴|CA|=|CB|=10×

2

2

=5

2

，
∴△ABC斜邊上的高|CD|=5

2

sin45°=5；
（2）∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3-5

2

，

-5+1

2

），即D（-1，-2），
又k_AB=

-5-1

3-(-5)

=-

3

4

，AB⊥CD，
∴k_CD=

4

3

，
∴CD所在直線的方程為y+2=

4

3

（x+1），整理得：4x-3y-2=0；
（3）設(shè)C（a，b），則k_CA•k_CB=

b-1

a+5

•

b+5

a-3

=-1，又4a-3b-2=0，
二式聯(lián)立解得：

a=2 b=2

或

a=-4 b=-6

，
∴△ABC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）或（-4，-6）．

點(diǎn)評：本題考查直線的方程，著重考查直線的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用．考查直線的垂直關(guān)系，突出考查解方程的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．