Question

已知橢圓C₁的離心率為e=

6

3

，過C₁的左焦點F₁的直線l：x-y+2=0被圓C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦長為2

2

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設C₁的右焦點為F₂，在圓C₂上是否存在點P，滿足|PF₁|=

a2

b2

|PF₂|，若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：綜合題,探究型,存在型

分析：對第（1）問，由a²=b²+c²，e=

6

3

及F₁的坐標滿足直線l的方程，聯(lián)立此三個方程，即得a²，b²，從而得橢圓方程；
對第（2）問，根據(jù)弦長，利用垂徑定理與勾股定理得方程，可求得圓的半徑r，從而確定圓的方程，再由條件|PF₁|=

a2

b2

|PF₂|，將點P滿足的關系式列出，通過此關系式與已知圓C₂的方程聯(lián)系，再探求點P的存在性．

解答： 解：在直線l的方程x-y+2=0中，令y=0，得x=-2，即得F₁（-2，0），
∴c=2，又∵離心率e=

c

a

=

6

3

，
∴a²=6，b²=a²-c²=2，
∴橢圓C₁的方程為C1：

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）∵圓心C₂（3，3）到直線l：x-y+2=0的距離為d=

|3-3+2|

2

=

2

，
又直線l被圓C₂截得的弦長為2

2

，
∴由垂徑定理得r=

d2+( l 2 )2

=

2+2

=2，
故圓C₂的方程為C2：(x-3)2+(y-3)2=4．
設圓C₂上存在點P（x，y），滿足|PF1|=

a2

b2

|PF2|，即|PF₁|=3|PF₂|．
∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
則

(x+2)2+y2

=3

(x-2)2+y2

，整理得(x-

5

2

)2+y2=

9

4

，
此方程表示圓心在點C(

5

2

，0)，半徑是

3

2

的圓，
∴|CC₂|=

(3- 5 2 )2+(3-0)2

=

37

2

，
故有2-

3

2

＜|CC2|＜2+

3

2

，即兩圓相交，有兩個公共點．
∴圓C₂上存在兩個不同點P，滿足|PF₁|=

a2

b2

|PF2|．

點評：1．求橢圓的方程，關鍵是確定a²，b²，常用到關系式e=

c

a

及a²=b²+c²，再找一個關系式，一般可解出a，b．
2．本題采用交集思想巧妙地處理了點P的存在性．本解法是用圓特有的方式判斷兩圓的公共點個數(shù)，若聯(lián)立兩曲線的方程，消去 x或y，用判別式來判斷也可以，其適用范圍更廣，但計算量相對大一些．