Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（

1

2

a-1）x²+3（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值為g（a），
①求g（a）的值；
②若過點（m，

25

3

）可作出y=g（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x）=x²-（a-2）x，令f′（x）=0便得到x=0，或a-2，所以討論a和2的關(guān)系，即判斷a-2和0的關(guān)系：分a＞2，a=2，a＜2三種情況，判斷每種情況下的f′（x）的符號，從而判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）①對應(yīng)（1）中的三種情況：a＞2，a=2，a＜2，判斷在每種情況下f（x）在[0，a]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值g（a），并求得g（a）=

- 1 6 a3+a2+3 a＜6 3 a≥6

；
②要作y=g（x）的三條切線，則g（x）圖象應(yīng)是曲線，所以y=g（x）=-

1

6

x3+x2+3，x＜6，求g′（x），設(shè)切點為(x0，-

1

6

x03+x02+3)，求出切線斜率，所以求得切線方程為：y-(-

1

6

x03+x02+3)=(-

1

2

x02+2x0)(x-x0)，切線過點（m，

25

3

），將該點帶入切線方程并整理得：

1

3

x03-(

m

2

+1)x02+2mx0-

16

3

=0，則這個關(guān)于x₀的方程有三個不同的實數(shù)根，設(shè)h（x）=

1

3

x3-(

m

2

+1)x2+2mx-

16

3

，則該函數(shù)有三個零點，這需要h（x）的極小值小于0，極大值大于0，所以用m表示出f（x）的極值，并解關(guān)于m的不等式即可求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-（a-2）x，令f′（x）=0得，x=0，或a-2；
若a＞2，a-2＞0，∴x＜0，或x＞a-2時，f′（x）＞0；0＜x＜a-2時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0），（a-2，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，a-2]上單調(diào)遞減；
若a=2，a-2=0，∴f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
若a＜2，a-2＜0，∴x＜a-2，或x＞0時，f′（x）＞0；a-2＜x＜0時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，a-2），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-2，0）單調(diào)遞減；
（2）①由（1）知，1）當a＞2時，f（x）在[0，a-2]單調(diào)遞減，在（a-2，a]單調(diào)遞增；
∴對于此時的f（x）的最大值比較f（0），f（a）即可；
f（a）-f（0）=-

1

6

a3+a2=a2(1-

a

6

)；
∴a≥6時，f（a）＜f（0），∴g（a）=f（0）=3；
2＜a＜6時，f（a）＞f（0），∴g（a）=f（a）；
2）當a=2時，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，∴g（a）=f（a）；
3）當a＜2時，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，∴g（a）=f（a）；
∴g（a）=

- 1 6 a3+a2+3 a＜6 3 a≥6

；
②根據(jù)題意，y=g（x）=-

1

6

x3+x2+3，x＜6，y′=-

x2

2

+2x，所以設(shè)過點(m，

25

3

)所作切線的切點為(x0，-

1

6

x03+x02+3)，x₀＜6，斜率為-

x02

2

+2x0；
∴切線方程為：y-(-

1

6

x03+x02+3)=(-

x02

2

+2x0)(x-x0)；
點（m，

25

3

）在切線上，所以

25

3

-(-

1

6

x03+x02+3)=(-

x02

2

+2x0)(m-x0)；
將上式整理成：

1

3

x03-(

m

2

+1)x02+2mx0-

16

3

=0，則關(guān)于x₀的方程有三個不同的實數(shù)根，且x₀＜6；
令h（x）=

1

3

x3-(

m

2

+1)x2+2mx-

16

3

，則h（x）應(yīng)有三個不同的零點，h′（x）=x²-（m+2）x+2m，令h′（x）=0，則：
x=2，或m，∴h（2），h（m）中一個是極大值，一個是極小值；
1）m＜2時，h（2）是極小值，h（m）是極大值，∴

h(2)=2m- 20 3 ＜0 h(m)=- 1 6 m3+m2- 16 3 ＞0

；
解2m-

20

3

＜0得m＜

10

3

；
令μ(x)=-

1

6

x3+x2-

16

3

，μ′(x)=-

1

2

x2+2x，令u′（x）=0，得，x=0，或4；
∴u（x）在（-∞，0），（4，+∞）上單調(diào)遞減，在[0，4]上單調(diào)遞增；
可求得u（-2）=u（4）=0，∴x＜-2，時，u（x）＞0，x＞-2，且x≠4時，u（x）＜0；
∴h（m）＞0的解是m＜-2，∴m＜-2；
2）m＞2時，h（2）是極大值，h（m）是極小值，∴

h(2)=2m- 20 3 ＞0 h(m)＜0

；
解2m-

20

3

＞0得，m＞

10

3

；
而由上面知h（m）＜0的解是m＞-2，且m≠4，∴m＞

10

3

，且m≠4；
綜上得m的取值范圍是{m|m＜-2，或m＞

10

3

，且m≠4}．

點評：考查根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求閉區(qū)間上函數(shù)最大值的方法，函數(shù)在切點處的導數(shù)與切線斜率的關(guān)系，直線的點斜式方程，以及極值的概念，函數(shù)零點的情況和函數(shù)極大值，極小值的關(guān)系．