Question

【題目】數(shù)列{an}滿足an=2an﹣1+2n+1（n∈N* ， n≥2），a3=27．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得bn= （an+t）（n∈N*），且數(shù)列{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a3=27，27=2a2+23+1，

∴a2=9，

∴9=2a1+22+1∴a1=2

（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得{bn}為等差數(shù)列．

則2bn=bn﹣1+bn+1，

∴

∴4an=4an﹣1+an+1+t，

∴ ∴t=1，

存在t=1，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列

（3）解：由（1）、（2）知： ，

又{bn}為等差數(shù)列. ∴ ，

∴Sn=3×20﹣1+5×21﹣1+7×22﹣1+…+（2n+1）×2n﹣1﹣1=3+5×2+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1﹣n

∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）×2n﹣2n∴﹣Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n﹣1﹣（2n+1）×2n+n

=

=（1﹣2n）×2n+n﹣1Sn=（2n﹣1）×2n﹣n+1

【解析】（Ⅰ）利用an=2an﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27，代入可求；（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得{bn}為等差數(shù)列，從而有2bn=bn﹣1+bn+1 ， ．故可求；（Ⅲ）先求出數(shù)列的通項(xiàng) ，再求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．