【題目】如圖,在寬為的路邊安裝路燈,燈柱高為,燈桿是半徑為的圓的一段劣。窡舨捎缅F形燈罩,燈罩頂到路面的距離為,到燈柱所在直線的距離為.設(shè)為燈罩軸線與路面的交點,圓心在線段上.

(1)當為何值時,點恰好在路面中線上?

(2)記圓心在路面上的射影為,且在線段上,求的最大值.

【答案】(1)當時,點在路面中線上;(2)

【解析】

(1)以O(shè)為原點,以O(shè)A所在直線為y軸建立平面直角坐標系,求出PQ的方程,設(shè)C(a,b),根據(jù)CA=CP=r列方程組可得出a,b的值,從而求出r的值;

(2)用a表示出直線PQ的斜率,得出PQ的方程,求出Q的坐標,從而可得出|HQ|關(guān)于a的函數(shù),根據(jù)a的范圍和基本不等式得出|HQ|的最大值.

(1)以O(shè)為原點,以O(shè)A所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,8),P(2,10),Q(7,0),

∴直線PQ的方程為2x+y﹣14=0.設(shè)C(a,b),則

兩式相減得:a+b﹣10=0,又2a+b﹣14=0,解得a=4,b=6,

.∴當時,點Q恰好在路面中線上.

(2)由(1)知a+b﹣10=0,

當a=2時,燈罩軸線所在直線方程為x=2,此時HQ=0.

當a≠2時,燈罩軸線所在方程為:y﹣10=(x﹣2),

令y=0可得x=12﹣,即Q(12﹣,0),

∵H在線段OQ上,∴12﹣≥a,解得2≤a≤10.

∴|HQ|=12﹣﹣a=12﹣(+a)≤12﹣=12﹣,

當且僅當=a即a=時取等號.∴|HQ|的最大值為(12﹣)m.

練習冊系列答案
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1)求頻率分布直方圖中實數(shù)的值,并求出該樣本年齡的中位數(shù);

2)現(xiàn)分別在年齡段、、、、中各選出人共人進行回訪.若從這人中隨機選出人,求這人所交保費之和大于元的概率.

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2)若對任意,均有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

編號x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

銷售額y

0.9

8.7

22.4

41

65

94

132.5

172.5

218

268

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖,如圖所示

1)根據(jù)散點圖判斷,哪一個適宜作為銷售額關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)

2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及如表中的數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程,并預測2020年天貓雙十一銷售額;(注:數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后一位)

3)把銷售超過100(十億元)的年份叫暢銷年,把銷售額超過200(十億元)的年份叫狂歡年,從2010年到2019年這十年的暢銷年中任取2個,求至少取到一個狂歡年的概率.

參考數(shù)據(jù):

參考公式:

對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別,

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