Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x-1|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）已知m，n＞0，m+n=a，求$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小值．
（2）根據(jù) $\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）•$\frac{2}{3}（m+n）$，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$]，增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為a=$\frac{3}{2}$．
（2）已知m，n＞0，m+n=a=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）•$\frac{2}{3}（m+n）$=$\frac{2}{3}$[1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4]=$\frac{10}{3}$+$\frac{2}{3}$（$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$）
≥$\frac{10}{3}$+$\frac{2}{3}$•2$\sqrt{4}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4m}{n}$=$\frac{n}{m}$時(shí)，取等號(hào)，
故$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，基本不等式的因公，屬于中檔題．