Question

19．求曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2{e}^{t}}\\{y={e}^{-t}}\end{array}\right.$在t=0相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程和法線方程．

Answer 1

分析 化為y=$\frac{2}{x}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和法線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程，可得切線或法線方程．

解答 解：當(dāng)t=0時(shí)，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）
曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2{e}^{t}}\\{y={e}^{-t}}\end{array}\right.$消t得到，y=$\frac{2}{x}$，
∴y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
在點(diǎn)（2，1）處的切線斜率為k=-$\frac{1}{2}$，
即有在點(diǎn)（2，1）處的切線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即為x+2y-4=0；
在點(diǎn)（2，1）處的法線斜率為k=2，
即有在點(diǎn)（2，1）處的法線方程為y-1=2（x-2），
即為2x-y-3=0．

點(diǎn)評 本題參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查直線方程的求法和法線方程的求法，屬于中檔題．