Question

在直角坐標(biāo)平面上，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，如果|AM|≤2|BM|恒成立，則正實(shí)數(shù)t的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)M（x，y），由題意可得y=，代入距離公式可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，消掉y可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，進(jìn)而可得其△≤0，解此不等式可得t的范圍，進(jìn)而可得最小值．
解答：解：設(shè)M（x，y），則由A、M、D三點(diǎn)共線可得，整理可得y=，
由兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合|AM|≤2|BM|恒成立可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，
整理可得3x²+3y²-4y≥0，代入y=化簡(jiǎn)可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，
∵3t²+12＞0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得△=（-16t）²-4（3t²+12）•4t²≤0，
整理可得3t⁴-4t²≥0，即，解得t≥，或t≤（因?yàn)閠＞0，故舍去）
故正實(shí)數(shù)t的最小值是：
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及不等式的解法，屬中檔題．