Question

已知函數(shù)f(x)=-x2-2x，g(x)=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

，
（1）g[f（1）]=

 

；
（2）若方程g[f（x）]-a=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有4個(gè)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）由題意先求出f（1）=-3，再根據(jù)g（x）的解析式代入g（x）=x+1求值；
（2）由g（x）的解析式知，需要求出f（x）＞0和f（x）≤0的解集，再代入對(duì)應(yīng)的解析式，由題意還需要求出函數(shù)g[f（x）]的值域和圖象，故用換元法設(shè)t=-x²-2x，并且求出對(duì)應(yīng)t的值域，再代入g[f（x）]的解析式，畫出函數(shù)g（t）的圖象，再由圖象求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=-x2-2x，g(x)=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

，
∴f（1）=-1-2=-3，
即g[f（1）]=-3+1=-2．
（2）由f（x）=-x²-2x＞0解得，-2＜x＜0，
由f（x）=-x²-2x≤0解得，x≥0或x≤-2，
則g[f（x）]=

(-x2-2x)+ 1 4(-x2-2x)  -2＜x＜0 -x2-2x+1                   x≥0或x≤-2

，
設(shè)t=-x²-2x=-（x+1）²+1，當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，則t∈（0，1]，
當(dāng)x≥0或x≤-2時(shí)，t∈（-∞，0]，
∴函數(shù)g[f（x）]變成g(t)=

t+ 1 4t ，0＜t≤1 t+1，t≤0

，作出此函數(shù)的圖象：
由圖象知，方程g[f（x）]-a=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有4個(gè)時(shí)，
即y=a的圖象與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，
因當(dāng)t=1時(shí)，g（t）=

5

4

，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，g（t）=1，
故a的取值范圍是[1，

5

4

]．
故答案為：（1）-2；（2）[1，

5

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)求值，含有多層的求值問(wèn)題要按“由里到外”的順序逐層求值，一定要注意自變量的值所在范圍，代入相應(yīng)的解析式求解；對(duì)于第二問(wèn)需要用多次換元，多次代入解析式，多次求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域，再畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求解，思維含量大，難度大，可作為選做題．