Question

已知直線L：2mx-y-8m-3=0和圓C：x²+y²-6x+12y+20=0相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB最短時(shí)，直線L的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：直線過定點(diǎn)，根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)確定線段AB最短時(shí)的等價(jià)條件即可．

解答： 解：將直線l變形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
由

x-4=0 y+3=0

得

x=4 y=-3

，即直線L恒過A（4，-3），
將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圓心C為（3，-6），半徑r=5，
∵點(diǎn)A到圓心C的距離d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜5=r，
∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，
則L與C總相交；
若線段AB最短，
則滿足CA⊥L，
∵直徑AC所在直線方程的斜率為

-3+6

4-3

=3，
∴此時(shí)l的斜率為-

1

3

，
則直線方程為y+3=-

1

3

（x-4），
即x+3y+5=0，
故答案為：x+3y+5=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查恒過定點(diǎn)的直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，要求熟練掌握直線和圓相交的性質(zhì)．