【題目】設(shè)函數(shù).

（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；

（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

【答案】（1），的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）證明見解析；

【解析】

（1）利用可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于0可得，再驗(yàn)證函數(shù)在處取得極值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可求得單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可得導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，從而可得函數(shù)在內(nèi)存在唯一的極小值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)的范圍可證極值為正數(shù).

（1）定義域?yàn)?/span>，.

由題設(shè)，所以.

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn).

綜上，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）因?yàn)?/span>，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，所以存在，使得.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn).

由得，于是.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.

綜上，在區(qū)間內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn)，且.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）不垂直于軸且不過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，若直線、的斜率之和為0，則動(dòng)直線是否一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)一定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明直線恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求面積的最大值.

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【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，直線過(guò)與拋物線交于兩點(diǎn).到準(zhǔn)線的距離之和最小為8.

（1）求拋物線方程；

（2）若拋物線上一點(diǎn)縱坐標(biāo)為，直線分別交準(zhǔn)線于.求證：以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin（θ+）.

（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求△MON的面積.

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【題目】已知，函數(shù)在點(diǎn)處與軸相切

（1）求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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（1）求證：平面；

（2）設(shè)，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過(guò)點(diǎn)，其參數(shù)方程為 （為參數(shù)，），以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求已知曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者.

（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

（2）如果比賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對(duì)方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.

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